JEE Main 2024 — Definite Integration Question with Solution

Given: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\int }_0^{\mathrm{x}}\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)\log \left(\frac{1-\mathrm{t}}{1+\mathrm{t}}\right)\mathrm{dt}$

$\Rightarrow \mathrm{f}\left(-\mathrm{x}\right)={\int }_0^{-\mathrm{x}}\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)\log \left(\frac{1-\mathrm{t}}{1+\mathrm{t}}\right)\mathrm{dt}$

$\Rightarrow \mathrm{f}\left(-\mathrm{x}\right)=-{\int }_0^{\mathrm{x}}\mathrm{g}\left(-\mathrm{y}\right)\log \left(\frac{1+\mathrm{y}}{1-\mathrm{y}}\right)\mathrm{dy}$

$=-{\int }_0^{\mathrm{x}}\mathrm{g}\left(\mathrm{y}\right)\ln \left(\frac{1-\mathrm{y}}{1+\mathrm{y}}\right)\mathrm{dy}$ ($\mathrm{g}$ is odd)

$\mathrm{f}(-\mathrm{x})=-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\Rightarrow \mathrm{f}$ is also odd.

Now,

$\mathrm{I}={\int }_{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\frac{{\mathrm{x}}^2\mathrm{cosx}}{1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{dx} ...\left(\mathrm{i}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{I}={\int }_{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(\mathrm{f}(-\mathrm{x})+\frac{{\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{cosx}}{1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{dx} ...\left(\mathrm{ii}\right)$

$\Rightarrow 2\mathrm{I}={\int }_{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\mathrm{x}}^2\mathrm{cosxdx}$

$\Rightarrow 2\mathrm{I}=2{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\mathrm{x}}^2\mathrm{cosxdx}$

$\Rightarrow \mathrm{I}={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\mathrm{x}}^2\mathrm{cosxdx}$

$\Rightarrow \mathrm{I}={\left({\mathrm{x}}^2\mathrm{sinx}\right)}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}-{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}2\mathrm{xsinxdx}$

$\Rightarrow \mathrm{I}=\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}-2{\left(-\mathrm{xcosx}+\mathrm{sinx}\right)}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}$

$\Rightarrow \mathrm{I}=\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}-2(0+1)$

$\Rightarrow \mathrm{I}=\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}-2$

$\Rightarrow \mathrm{I}={\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)}^2-2$

$\therefore \mathrm{\alpha }=2$