JEE Main 2014 — Hyperbola Question with Solution

Hyperbola, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \Rightarrow \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$

$\text{∴ }{a}^2=4, b^2=5$

$b^2=a^2\left(e^2-1\right) \Rightarrow 5=4\left(e^2-1\right)$

                                 $\Rightarrow e^2=\frac{5}{4}+1=\frac{9}{4}$

                                   $\Rightarrow e=\frac{3}{2}$

$\therefore$ Extremity of $LR$ in first quadrant $\text{≡}L\text{≡}\left(ae,\frac{b^2}{a}\right)$

                                                         $\equiv \left(3\text{, }\frac{5}{2}\right)$

Equation of tangent to the hyperbola $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ at $\left(x_1, y_1\right)$ is $\frac{xx{}_1}{a^2}-\frac{yy{}_1}{b^2}=1$

$\Rightarrow \frac{x·3}{4}-\frac{y·\left(\frac{5}{2}\right)}{5}=1$

                $\Rightarrow \frac{3x}{4}-\frac{y}{2}=1$

To find the point $A$ on $x$--axis, put $y=0$

$\Rightarrow x=\frac{4}{3}$

$\Rightarrow OA=\frac{4}{3}$

To find the point $B$ on $y$-axis, put $x=0$

$\Rightarrow y=-2$

$\Rightarrow OB=2$

Now, $O{A}^2-O{B}^2=\frac{16}{9}-4=-\frac{20}{9}.$